Achille e il fiscal compact

Zenone, filosofo di Elea, formulò un paradosso divenuto celebre: il paradosso di Achille e la tartaruga.

Il paradosso ci è stato tramandato attraverso la descrizione di Aristotele nella Fisica:

"Il secondo argomento è quello detto di Achille.

Eccolo: il più lento corridore non sarà mai raggiunto nella sua corsa dal più veloce.

Infatti sarà necessario che l'inseguitore proceda fin là donde si è mosso il fuggitivo, quindi è necessario che il corridore più lento si trovi sempre un po' più innanzi".

Achille è veloce, la tartaruga lenta. 

Supponiamo che inizialmente la tartaruga abbia un certo vantaggio su Achille. 

Il paradosso dice che quando Achille sarà giunto nella posizione occupata inizialmente dalla tartaruga, questa avrà percorso una certo tratto in avanti, piccolo ma non nullo, e quindi sarà ancora davanti ad Achille. 

Anche quando Achille avrà raggiunto questa seconda posizione, la tartaruga si sarà spostata in avanti di una certa distanza, minore di quella percorsa in precedenza ma non nulla, e sarà ancora davanti ad Achille. 

E così via...

Il paradosso dice quindi che Achille non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga perché, ogni volta che sarà giunto nella posizione che essa occupava, la tartaruga si sarà spostata un poco più in là, sempre meno ma sempre davanti.

Ovviamente in realtà Achille raggiungerà la tartaruga.

E volendo possiamo anche calcolare dove e in che tempo.

Se la velocità di Achille è v_A e la velocità della tartaruga è v_T e la distanza iniziale tra Achille e la tartaruga è d, Achille raggiungerà la tartaruga quando la distanza che avrà percorso v_A ∙ t sarà pari alla somma della distanza iniziale che lo separava dalla tartaruga e della distanza percorsa nello stesso tempo dalla tartaruga v_T ∙ t.

Achille raggiungerà cioè la tartaruga quando

v_A ∙ t = d + v_T ∙ t

cioè nell’istante t = d / (v_A - v_T).

Se la tartaruga è avanti di un chilometro, Achille corre con una velocità di 10 metri al secondo e la tartaruga si muove con una velocità di 1 metro al minuto allora Achille raggiungerà la tartaruga in 1.000/(10-1/60)=100,17 secondi dopo aver corso per 100,17∙10=1.001,7 metri.

Ora, supponiamo che la tartaruga sia ferma, che la distanza che separa Achille dalla tartaruga sia di 200 metri e che Achille debba raggiungere la tartaruga in 20 secondi.

Con quale velocità deve correre Achille?

Applicando l’equazione vista, con v_T = 0, abbiamo che deve essere v_A ∙ t = d, cioè

v_A  = d/t = 200/20 = 10 m/s

Per raggiungere la tartaruga in 20 secondi Achille deve correre con una velocità di 10 metri al secondo, che è semplicemente il rapporto tra la distanza da percorrere e il tempo che deve essere impiegato.

Se corre più velocemente la raggiungerà prima, se corre più lentamente la raggiungerà dopo.

Ma Achille si lamenta, dice che è faticoso correre così velocemente, dice che quando avrà percorso i primi dieci metri gliene mancheranno solo 190, quindi potrà rallentare, perché un ventesimo di 190 è pari a 9,5...

Achille, ma cosa dici! 

Secondo Zenone non avresti nemmeno potuto raggiungere la tartaruga, purchè lei si muovesse, ora tu dici che puoi raggiungerla, mentre è ferma, in venti secondi anche correndo meno velocemente di quanto è necessario?

Quando avrai percorso i primi dieci metri sarà già passato un secondo, quindi dovrai coprire i restanti 190 metri in 19 secondi: dovrai continuare a correre con una velocità di 10 metri al secondo!

In realtà non è Achille... è Angelo Baglioni, che, secondo un articolo de Il Fatto Quotidiano, avrebbe - il condizionale è d’obbligo - spiegato che, nell’applicazione del fiscal compact che richiede la riduzione del debito pubblico a una percentuale del PIL pari al 60% nell’arco di vent’anni (Art. 4), "il ritmo richiesto della discesa del debito" - la velocità di riduzione del rapporto tra il debito pubblico e il PIL - "viene ricalcolato ogni anno" e che:

“Quindi, se il debito inizia a scendere la quota da ridurre si assottiglia via via: se ho un debito di 200 e lo riduco di un ventesimo arrivo a 190, quindi l’anno successivo il ventesimo richiesto non sarà più 10, ma 9,5.“

Non è così, Achille, ops, Angelo.

Se nel 2015 il rapporto tra il debito pubblico e il PIL sarà pari al 135% e l’obiettivo è quello di portarlo al 60% nell’arco di venti anni, allora il rapporto tra il debito pubblico e il PIL dovrà essere ridotto, in media, di un ventesimo all’anno, cioè di una percentuale pari al 3,75%.

[FINE]